Чтобы найти корень уравнения 3²ˣ = 5ˣ, начнем с того, что нам нужно привести обе стороны уравнения к одинаковой основе или использовать логарифмы для решения.

1. Первым шагом мы можем взять логарифм от обеих сторон уравнения. Это позволит нам упростить выражения. Мы можем использовать натуральный логарифм (ln) или десятичный логарифм (log). В данном случае используем натуральный логарифм:

ln(3²ˣ) = ln(5ˣ)

2. Используя свойства логарифмов, мы можем вынести показатель степени перед логарифм:

2x * ln(3) = x * ln(5)

3. Теперь у нас есть уравнение, в котором x присутствует в обеих частях. Переносим все члены, содержащие x, в одну сторону:

2x * ln(3) - x * ln(5) = 0

4. Вынесем x за скобки:

x * (2 * ln(3) - ln(5)) = 0

5. У нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что либо x = 0, либо 2 * ln(3) - ln(5) = 0. Рассмотрим второй случай:

2 * ln(3) - ln(5) = 0

6. Решаем это уравнение:

2 * ln(3) = ln(5)

7. Применяем свойства логарифмов для преобразования:

ln(3²) = ln(5)

8. Это означает, что:

3² = 5

9. Однако, 3² = 9, и 9 не равно 5. Это означает, что x = 0 является единственным решением.

Таким образом, корнем уравнения 3²ˣ = 5ˣ является:

x = 0