Чтобы найти корень уравнения x = 1 + √(x + 11), давайте начнем с того, что выразим квадратный корень и затем избавимся от него.

1. Перепишем уравнение: x = 1 + √(x + 11).
2. Вырежем √(x + 11) из уравнения. Для этого сначала перенесем 1 влево: x - 1 = √(x + 11).
3. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: (x - 1)² = x + 11.
4. Раскроем левую часть уравнения: x² - 2x + 1 = x + 11.
5. Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы упростить уравнение: x² - 2x + 1 - x - 11 = 0.
6. Соберем подобные слагаемые: x² - 3x - 10 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы корней квадратного уравнения:

1. Сначала найдем дискриминант D: D = b² - 4ac, где a = 1, b = -3, c = -10.
2. Подставим значения: D = (-3)² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.
3. Теперь найдем корни уравнения: x = ( -b ± √D ) / (2a).
4. Подставим значения: x = (3 ± √49) / 2.
5. Это дает два возможных значения: x = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5 и x = (3 - 7) / 2 = -4 / 2 = -2.

Теперь нам нужно проверить, какой из найденных корней удовлетворяет исходному уравнению. Подставим оба значения:

1. Для x = 5: 5 = 1 + √(5 + 11) 5 = 1 + √16 5 = 1 + 4 5 = 5 (верно).
2. Для x = -2: -2 = 1 + √(-2 + 11) -2 = 1 + √9 -2 = 1 + 3 -2 = 4 (неверно).

Таким образом, корнем уравнения является x = 5.