Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения (закон распределения напряжений по сечению, зависимости для определения напряжений и перемещений).

Другие предметы Университет Кручение стержня кручение стержня прямоугольное сечение распределение напряжений зависимости напряжений перемещения стержня сопротивление материалов механика материалов Новый

Кручение стержня с прямоугольным поперечным сечением является важной темой в сопротивлении материалов. Давайте подробно рассмотрим, как распределяются напряжения по сечению и какие зависимости используются для их определения.

1. Закон распределения напряжений:

При кручении стержня, на него действуют моменты, которые вызывают появление касательных напряжений. Эти напряжения распределяются по сечению стержня в зависимости от расстояния до оси кручения.

• Касательное напряжение (τ) в любой точке сечения можно определить по формуле:
• τ = (T * r) / J,
• где T - крутящий момент, r - расстояние от оси к точке, в которой мы определяем напряжение, J - полярный момент инерции сечения.

2. Полярный момент инерции:

Для прямоугольного поперечного сечения полярный момент инерции (J) можно рассчитать следующим образом:

• J = (b * h^3) / 3,
• где b - ширина сечения, h - высота сечения.

3. Распределение напряжений:

Напряжения в сечении будут максимальными на границах сечения и минимальными в центре. Важно отметить, что напряжения в разных точках сечения будут пропорциональны расстоянию от оси кручения.

4. Перемещения:

Кроме напряжений, при кручении стержня также возникают угловые перемещения. Угловое перемещение (φ) можно определить по формуле:

• φ = (T * L) / (G * J),
• где L - длина стержня, G - модуль сдвига материала.

5. Пример:

Предположим, у нас есть стержень длиной 2 метра, шириной 0.1 метра и высотой 0.2 метра, на который действует крутящий момент 100 Нм. Рассчитаем касательные напряжения и угловое перемещение:

1. Сначала найдем полярный момент инерции J:
2. J = (0.1 * (0.2)^3) / 3 = 0.0001333 м^4.
3. Теперь рассчитаем максимальное касательное напряжение на расстоянии r = 0.1 м (максимальное расстояние от оси):
4. τ = (100 * 0.1) / 0.0001333 = 75000 Н/м^2 (или 75 МПа).
5. Теперь найдем угловое перемещение:
6. φ = (100 * 2) / (G * 0.0001333), где G - модуль сдвига материала (например, для стали G ≈ 80 ГПа).

Таким образом, мы рассмотрели основные аспекты кручения стержня с прямоугольным поперечным сечением, включая закон распределения напряжений, зависимости для их определения и перемещения. Эти знания важны для понимания поведения конструкций под действием крутящих моментов.