Линейное пространство - это множество объектов, называемых векторами, на котором определены две операции: сложение векторов и умножение вектора на скаляр. Эти операции должны удовлетворять определённым аксиомам, таким как ассоциативность, коммутативность, наличие нулевого вектора и так далее.

Линейное подпространство - это подмножество линейного пространства, которое само является линейным пространством относительно тех же операций сложения и умножения на скаляр. Чтобы подмножество V было линейным подпространством линейного пространства U, оно должно удовлетворять следующим условиям:

• Содержит нулевой вектор: 0 ∈ V.
• Замкнуто относительно сложения: если u и v принадлежат V, то u + v также принадлежит V.
• Замкнуто относительно умножения на скаляр: если v принадлежит V и c - скаляр, то c * v также принадлежит V.

Теперь рассмотрим примеры линейных пространств и их подпространств:

1. Пример 1: Рассмотрим пространство R^2 (двумерное пространство).
   • Линейное подпространство: прямая, проходящая через начало координат. Например, прямая y = kx, где k - любое вещественное число.
2. Пример 2: Рассмотрим пространство R^3 (тремерное пространство).
   • Линейное подпространство: плоскость, проходящая через начало координат. Например, плоскость, заданная уравнением ax + by + cz = 0, где a, b, c - некоторые фиксированные коэффициенты.
3. Пример 3: Пространство всех функций f(x), определённых на интервале [0, 1].
   • Линейное подпространство: множество всех линейных функций вида f(x) = ax + b, где a и b - некоторые вещественные числа.

Каждый из этих примеров демонстрирует, как подмножество может быть линейным подпространством, если оно удовлетворяет указанным условиям. Понимание этих концепций важно для дальнейшего изучения линейной алгебры и аналитической геометрии.