Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка вида y'' - 4y' = 10, мы сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем определим частное решение неоднородного уравнения.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Первым шагом является решение однородного уравнения:

y'' - 4y' = 0

Для этого мы предполагаем, что решение имеет вид y = e^(rx), где r — некоторая константа. Подставляем это в уравнение:

• y' = r * e^(rx)
• y'' = r^2 * e^(rx)

Подставляем в уравнение:

r^2 * e^(rx) - 4r * e^(rx) = 0

Выносим e^(rx) за скобки:

e^(rx) * (r^2 - 4r) = 0

Так как e^(rx) ≠ 0, то:

r^2 - 4r = 0

Решаем квадратное уравнение:

• r(r - 4) = 0
• r1 = 0, r2 = 4

Таким образом, общее решение однородного уравнения:

y_h = C1 * e^(0x) + C2 * e^(4x) = C1 + C2 * e^(4x)

Шаг 2: Частное решение неоднородного уравнения

Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения y'' - 4y' = 10. Поскольку правая часть уравнения является постоянной, предположим, что частное решение имеет вид:

y_p = A

Подставляем y_p в уравнение:

• y'' = 0
• y' = 0

Получаем:

0 - 4 * 0 = 10

Это уравнение не содержит A, поэтому мы видим, что A = 10. Таким образом, частное решение:

y_p = 10

Шаг 3: Общее решение неоднородного уравнения

Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:

y = y_h + y_p = C1 + C2 * e^(4x) + 10

Это и есть общее решение уравнения y'' - 4y' = 10.