Чтобы найти массу тонкой пластинки с переменной плотностью μ(x,y),занимающей область D на плоскости xOy, необходимо воспользоваться двойным интегралом. Давайте разберем шаги этого процесса.

1. Определение переменной плотности: Плотность μ(x,y) может зависеть от координат x и y. Это означает, что в каждой точке области D плотность может быть разной.
2. Определение области D: Необходимо четко определить границы области D, в которой находится пластинка. Это может быть прямоугольник, круг, треугольник или более сложная фигура.
3. Запись формулы для массы: Масса M пластинки будет равна двойному интегралу плотности по области D. Формула выглядит следующим образом:

   M = ∬_D μ(x,y) dA

   где dA - элемент площади, который в случае прямоугольной системы координат равен dx*dy.
4. Определение элемента площади: В зависимости от формы области D, элемент площади dA может быть записан как dx*dy, если мы интегрируем по x и y. Если область D имеет другую форму, возможно, потребуется использовать полярные координаты или другие системы координат.
5. Построение интеграла: Установите пределы интегрирования. Например, если область D - это прямоугольник с границами x от a до b и y от c до d, то интеграл будет выглядеть так:

   M = ∫(c to d) ∫(a to b) μ(x,y) dx dy

6. Вычисление интеграла: После того как вы записали интеграл с заданными пределами, можно перейти к его вычислению. Сначала интегрируйте по одной переменной, затем по другой.
7. Подведение итогов: После выполнения всех вычислений вы получите значение массы M пластинки с переменной плотностью μ(x,y) по заданной области D.

Таким образом, процесс нахождения массы тонкой пластинки с переменной плотностью состоит из определения плотности, области, записи формулы для массы, определения элемента площади и пределов интегрирования, а затем вычисления интеграла.