2025-03-03 17:47:15
Матрица Якоби - это
- матрица свободных членов
- в списке нет правильного ответа
- матрица коэффициентов при неизвестных
Другие предметы Университет Методы численного решения систем нелинейных уравнений вычислительные методы матрица Якоби матрица свободных членов матрица коэффициентов университет линейные уравнения численные методы система уравнений методы решения матричный анализ
2025-07-19 12:23:28
Матрица Якоби - это важное понятие в математическом анализе, особенно в контексте многомерных функций и систем уравнений. Давайте разберемся, что это такое и как она формируется.
Определение Матрицы Якоби:
Матрица Якоби, или якобиан, используется для представления производных многомерной функции. Она состоит из частных производных, которые показывают, как функция изменяется в каждом направлении. Если у нас есть вектор-функция, которая отображает из пространства R^n в пространство R^m, то матрица Якоби будет иметь размер m x n.
Как формируется Матрица Якоби:
- Предположим, у нас есть вектор-функция F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x)), где x = (x1, x2, ..., xn).
- Матрица Якоби J будет содержать частные производные всех компонент функции F по всем переменным x.
- Каждый элемент матрицы J, обозначаемый как J_ij, равен частной производной функции fi по переменной xj, то есть J_ij = ∂fi/∂xj.
Пример:
Рассмотрим функцию F: R^2 -> R^2, заданную как F(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)), где:
- f1(x, y) = x^2 + y^2
- f2(x, y) = xy
Матрица Якоби для этой функции будет выглядеть следующим образом:
- Вычисляем частные производные: ∂f1/∂x = 2x, ∂f1/∂y = 2y
- ∂f2/∂x = y, ∂f2/∂y = x
Матрица Якоби J будет:
- J = [[2x, 2y], [y, x]]
Таким образом, Матрица Якоби - это не матрица свободных членов и не матрица коэффициентов при неизвестных в линейной системе. Это матрица частных производных, которая описывает, как вектор-функция изменяется в каждой точке пространства.