Метод вариации произвольной постоянной решения линейного дифференциального уравнения также называется методом вариации постоянных. Этот метод используется для нахождения частного решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений.

Давайте рассмотрим, как этот метод работает:

1. Общая форма уравнения: Мы начинаем с общего линейного дифференциального уравнения второго порядка, которое имеет вид:
• y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)
2. Нахождение общего решения однородного уравнения: Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения:
• y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
3. Вариация постоянных: Затем мы предполагаем, что постоянные в общем решении (обозначим их C1 и C2) становятся функциями переменной x. То есть, вместо C1 и C2 мы используем u1(x) и u2(x).
4. Подстановка: Подставляем u1(x) и u2(x) в общее решение и получаем новое выражение для y, которое зависит от x.
5. Определение функций: Далее мы определяем функции u1(x) и u2(x) таким образом, чтобы удовлетворять условиям, которые возникают при подстановке в исходное уравнение.
6. Нахождение частного решения: После нахождения u1(x) и u2(x), мы можем получить частное решение уравнения, добавив его к общему решению однородного уравнения.

Таким образом, метод вариации постоянных позволяет нам находить решения линейных дифференциальных уравнений, используя известные методы работы с однородными уравнениями и добавляя к ним функциональные зависимости.