Многочисленные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений действительно можно разделить на две большие группы: прямые методы и итерационные методы.

Давайте подробнее рассмотрим каждую из этих групп:

• Прямые методы:
  • Эти методы направлены на получение точного решения за конечное число шагов.
  • Примеры прямых методов:
  • Метод Гаусса — это один из самых известных методов, который включает в себя преобразование системы уравнений к верхнетреугольному виду и последующее обратное подставление.
  • Метод LU-разложения — этот метод разбивает матрицу системы на произведение двух матриц: нижней (L) и верхней (U) треугольной.
  • Метод Крамера — используется для решения систем с квадратной матрицей, основываясь на вычислении определителей.
• Итерационные методы:
  • Эти методы основываются на приближении решения, которое постепенно уточняется на каждом шаге.
  • Примеры итерационных методов:
  • Метод Якоби — это метод, который использует значения переменных из предыдущего шага для вычисления новых значений.
  • Метод Гаусса-Зейделя — улучшенная версия метода Якоби, где новые значения переменных используются сразу же в текущем шаге.
  • Метод релаксации — этот метод позволяет ускорить сходимость итерационного процесса, вводя дополнительный параметр.

Каждая из этих групп методов имеет свои преимущества и недостатки, и выбор конкретного метода зависит от свойств решаемой системы, таких как размер, разреженность и числовая стабильность. Прямые методы обычно более эффективны для малых и средних систем, в то время как итерационные методы хорошо работают для больших разреженных систем.