Могут ли матрицы линейного оператора в двух различных базисах быть одинаковыми?

• да
• нет

Другие предметы Университет Линейные операторы и матрицы в разных базисах линейная алгебра аналитическая геометрия матрицы линейный оператор различные базисы университет вопросы по линейной алгебре Новый

Чтобы ответить на вопрос, могут ли матрицы линейного оператора в двух различных базисах быть одинаковыми, давайте рассмотрим несколько ключевых моментов.

1. Определение линейного оператора:

• Линейный оператор - это преобразование, которое отображает векторное пространство в само себя и сохраняет операции сложения и умножения на скаляр.

2. Базис и представление матрицы:

• Базис векторного пространства - это набор векторов, которые линейно независимы и образуют это пространство.
• Матрица линейного оператора зависит от выбора базиса. Если мы изменим базис, то матрица, представляющая тот же самый линейный оператор, изменится.

3. Преобразование матрицы при смене базиса:

• Если у нас есть линейный оператор A и два базиса B1 и B2, то матрицы этого оператора в этих базисах связаны между собой с помощью преобразования:
• Если P - это матрица перехода от базиса B1 к базису B2, то матрица A в базисе B2 будет равна P * A(B1) * P^-1.

4. Заключение:

• Таким образом, если базисы B1 и B2 различны, то матрицы линейного оператора в этих базисах не могут быть одинаковыми, за исключением тривиального случая, когда линейный оператор является нулевым (то есть, он отображает все векторы в ноль).
• Поэтому, в общем случае, матрицы линейного оператора в двух различных базисах не могут быть одинаковыми.

Таким образом, ответ на вопрос: нет, матрицы линейного оператора в двух различных базисах не могут быть одинаковыми, если только оператор не является тривиальным.