Может ли конечномерное линейное пространство не иметь базиса?

• да
• нет

Другие предметы Университет Линейные пространства и их базисы линейная алгебра аналитическая геометрия университет конечномерное линейное пространство базис теорема о базисе свойства линейных пространств примеры базиса учебные материалы вопросы по линейной алгебре Новый

Нет, конечномерное линейное пространство всегда имеет базис.

Давайте разберем, почему это так:

1. Определение базиса: Базисом линейного пространства называется система векторов, которая является линейно независимой и порождает всё пространство.
2. Конечномерное пространство: Если пространство конечномерное, это означает, что оно имеет конечное количество векторов в своей базисной системе. Например, если у нас есть пространство размерности n, это означает, что его базис состоит из n векторов.
3. Существование базиса: В соответствии с теоремой о базисе, любое конечномерное линейное пространство имеет хотя бы один базис. Это связано с тем, что в конечномерных пространствах можно всегда найти линейно независимые векторы, которые можно дополнить до базиса.
4. Пример: Если взять пространство R^2, то можно взять два линейно независимых вектора, например (1, 0) и (0, 1). Эти векторы образуют базис для R^2.

Таким образом, в конечномерном линейном пространстве всегда существует базис, и, следовательно, ответ на ваш вопрос - нет, конечномерное линейное пространство не может не иметь базиса.