На двух токарных автоматах изготавливают детали по одному чертежу. Из продукции первого станка было отобрано n1 = 9 деталей, а из продукции второго n2 = 11 деталей. Оценки выборочных дисперсий контрольного размера, определенные по этим выборкам, равны bσ 2 1 = 5,9 мкм2 и bσ 2 2 = 23,3 мкм2 соответственно. Проверьте гипотезу о равенстве дисперсий при α = 0,05, если альтернативная гипотеза утверждает следующее: а) дисперсии не равны; б) дисперсия размера для второго станка больше, чем для первого

Другие предметы Университет Проверка гипотез о равенстве дисперсий теория вероятностей математическая статистика гипотеза о равенстве дисперсий выборочные дисперсии контрольный размер альтернативная гипотеза статистический анализ проверка гипотез дисперсия деталей токарные автоматы Новый

Для проверки гипотез о равенстве дисперсий мы будем использовать F-критерий. Давайте рассмотрим оба случая по отдельности.

Шаг 1: Определение гипотез.

• Нулевая гипотеза (H0): Дисперсии равны (σ1² = σ2²).
• Альтернативная гипотеза (H1):
  • а) Дисперсии не равны (σ1² ≠ σ2²).
  • б) Дисперсия второго станка больше (σ2² > σ1²).

Шаг 2: Вычисление выборочных дисперсий и F-статистики.

Выборочные дисперсии:

• bσ²1 = 5,9 мкм²
• bσ²2 = 23,3 мкм²

Количество деталей:

• n1 = 9
• n2 = 11

Теперь вычислим F-статистику:

F = bσ²2 / bσ²1 = 23,3 / 5,9 ≈ 3,95.

Шаг 3: Определение критического значения.

Для нахождения критического значения F-распределения при уровне значимости α = 0,05 нам нужно знать степени свободы:

• df1 = n1 - 1 = 9 - 1 = 8
• df2 = n2 - 1 = 11 - 1 = 10

Теперь мы можем найти критическое значение F для двух случаев:

а) Дисперсии не равны (двусторонний тест):

Поскольку это двусторонний тест, мы ищем значение F для α/2 = 0,025.

Используя таблицы F-распределения, мы находим, что критическое значение F(0,025; 8; 10) ≈ 3,57.

б) Дисперсия второго станка больше (односторонний тест):

Для одностороннего теста мы ищем значение F для α = 0,05.

Критическое значение F(0,05; 8; 10) ≈ 2,77.

Шаг 4: Сравнение F-статистики с критическими значениями.

• Для случая а): F = 3,95 > 3,57. Мы отвергаем H0.
• Для случая б): F = 3,95 > 2,77. Мы также отвергаем H0.

Шаг 5: Выводы.

• а) Мы отвергаем нулевую гипотезу о равенстве дисперсий.
• б) Мы также отвергаем нулевую гипотезу о том, что дисперсия второго станка меньше или равна дисперсии первого.

Таким образом, можно сделать вывод, что дисперсии не равны, и дисперсия второго станка действительно больше, чем у первого.