На плоскости даны векторы: a=i+3j, b=2i-2j, c=2i-4j. Разложить вектор C по векторам a и b.

• c=(5b-2a)/4.
• c=(5b+4a)/3.
• c=(4b-2a)/5.

Другие предметы Университет Векторы и их разложение высшая математика векторы разложение вектора плоскость университет линейная комбинация вектор a вектор b вектор c математические задачи Новый

Чтобы разложить вектор c по векторам a и b, нам нужно найти такие скаляры k1 и k2, чтобы выполнялось равенство:

c = k1 * a + k2 * b

Давайте начнем с того, что запишем векторы a, b и c в координатной форме:

• a = i + 3j
• b = 2i - 2j
• c = 2i - 4j

Теперь подставим эти векторы в уравнение:

2i - 4j = k1 * (i + 3j) + k2 * (2i - 2j)

Раскроем скобки:

2i - 4j = k1 * i + 3k1 * j + 2k2 * i - 2k2 * j

Теперь соберем все компоненты по i и j:

2i - 4j = (k1 + 2k2)i + (3k1 - 2k2)j

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв коэффициенты перед i и j:

• k1 + 2k2 = 2
• 3k1 - 2k2 = -4

Теперь решим эту систему уравнений. Начнем с первого уравнения:

k1 = 2 - 2k2

Подставим это выражение во второе уравнение:

3(2 - 2k2) - 2k2 = -4

Раскроем скобки:

6 - 6k2 - 2k2 = -4

Соберем все k2 в одну сторону:

6 + 4 = 8k2

Таким образом, мы получаем:

10 = 8k2

Теперь найдем k2:

k2 = 10/8 = 5/4

Теперь подставим k2 обратно в выражение для k1:

k1 = 2 - 2*(5/4) = 2 - 10/4 = 2 - 2.5 = -0.5

Итак, мы нашли значения k1 и k2:

• k1 = -0.5
• k2 = 5/4

Таким образом, вектор c можно выразить через векторы a и b как:

c = -0.5 * a + (5/4) * b

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

• c = (5b - 2a) / 4
• c = (5b + 4a) / 3
• c = (4b - 2a) / 5

Проверим каждый из них, подставив значения a и b:

1. Для первого варианта:

(5b - 2a) / 4 = (5(2i - 2j) - 2(i + 3j)) / 4 = (10i - 10j - 2i - 6j) / 4 = (8i - 16j) / 4 = 2i - 4j

Это совпадает с c.

2. Для второго варианта:

(5b + 4a) / 3 = (5(2i - 2j) + 4(i + 3j)) / 3 = (10i - 10j + 4i + 12j) / 3 = (14i + 2j) / 3

Это не совпадает с c.

3. Для третьего варианта:

(4b - 2a) / 5 = (4(2i - 2j) - 2(i + 3j)) / 5 = (8i - 8j - 2i - 6j) / 5 = (6i - 14j) / 5

Это также не совпадает с c.

Таким образом, правильный ответ:

c = (5b - 2a) / 4