Чтобы определить правильный повторный интеграл для вычисления интеграла ∭R f(x,y,z) dV, необходимо сначала проанализировать область интегрирования R, которая ограничена следующими поверхностями:

• x² + y² = 4 (это круг радиуса 2 в плоскости xy),
• x = 0 (плоскость yz),
• y = 0 (плоскость xz),
• z = 0 (плоскость xy),
• z = 3 (плоскость z = 3).

Область R представляет собой цилиндр высотой 3 и радиусом 2, который расположен в первой четверти (так как x и y не могут быть отрицательными). Теперь давайте разберем предложенные варианты интегралов:

1. ∫02 dy ∫04−y²√ dx ∫03 f(x,y,z) dz
2. ∫02 dy ∫−4−y²√0 dx ∫03 f(x,y,z) dz
3. ∫02 dy ∫02−y²√ dx ∫03 f(x,y,z) dz
4. ∫02 dy ∫04−y² dx ∫03 f(x,y,z) dz

Теперь проанализируем каждый из предложенных интегралов:

• Первый интеграл: ∫02 dy ∫04−y²√ dx ∫03 f(x,y,z) dz. Здесь y изменяется от 0 до 2, что правильно. x ограничивается от 0 до √(4 - y²),что соответствует кругу радиуса 2. z изменяется от 0 до 3, что также верно.
• Второй интеграл: ∫02 dy ∫−4−y²√0 dx ∫03 f(x,y,z) dz. Здесь x изменяется от -√(4 - y²) до 0, что неверно, так как x должен быть неотрицательным.
• Третий интеграл: ∫02 dy ∫02−y²√ dx ∫03 f(x,y,z) dz. Здесь x изменяется от 0 до √(2 - y²),что неверно, так как это не соответствует кругу радиуса 2.
• Четвертый интеграл: ∫02 dy ∫04−y² dx ∫03 f(x,y,z) dz. Здесь x изменяется от 0 до √(4 - y²),что правильно, и все другие границы также верны.

Таким образом, правильными являются первый и четвертый интегралы. Однако, учитывая, что в задании требуется указать один интеграл, правильный ответ будет: