Найдите ∫ 2dx / (3 - 4x)

Другие предметы Университет Интегрирование рациональных функций математический анализ интеграл неопределенный интеграл решение интеграла университетская математика учебные материалы примеры интегралов Новый

Чтобы найти интеграл ∫ 2dx / (3 - 4x), давайте следовать пошаговому процессу.

1. Определим вид интеграла: У нас есть интеграл от дроби, где в числителе константа, а в знаменателе линейная функция.
2. Попробуем сделать замену переменной: Для упрощения интегрирования, мы можем использовать замену переменной. Обозначим:
   • u = 3 - 4x
3. Найдем производную u: Теперь найдем производную u по x:
   • du/dx = -4
4. Следовательно, dx = du / -4.
5. Подставим замену в интеграл: Теперь подставим u и dx в наш интеграл:
   • ∫ 2dx / (3 - 4x) = ∫ 2 * (du / -4) / u
   • Это можно упростить до: ∫ (-1/2) (du / u).
6. Теперь интегрируем: Интеграл от 1/u равен ln|u|. Таким образом, у нас получается:
   • ∫ (-1/2) (du / u) = (-1/2) ln|u| + C,
   где C - произвольная константа интегрирования.
7. Вернемся к переменной x: Теперь заменим u обратно на 3 - 4x:
   • (-1/2) ln|3 - 4x| + C.
8. Записываем окончательный ответ: Таким образом, окончательный ответ для интеграла ∫ 2dx / (3 - 4x) будет:
   • ∫ 2dx / (3 - 4x) = (-1/2) ln|3 - 4x| + C.