Найдите частные производные второго порядка функции z=x³y⁴+ycos x

Другие предметы Университет Частные производные и дифференциальное исчисление функций нескольких переменных частные производные производные второго порядка функция z математика университет вычисление производных Новый

Чтобы найти частные производные второго порядка функции z = x³y⁴ + ycos(x), мы сначала найдем частные производные первого порядка, а затем на их основе вычислим частные производные второго порядка.

Шаг 1: Найдем первую частную производную z по x.

• Функция z = x³y⁴ + ycos(x).
• Принимаем y за константу и дифференцируем по x:
• dz/dx = 3x²y⁴ - ysin(x).

Таким образом, первая частная производная z по x равна:

dz/dx = 3x²y⁴ - ysin(x).

Шаг 2: Найдем первую частную производную z по y.

• Принимаем x за константу и дифференцируем по y:
• dz/dy = 4x³y³ + cos(x).

Таким образом, первая частная производная z по y равна:

dz/dy = 4x³y³ + cos(x).

Шаг 3: Теперь найдем частные производные второго порядка.

Частная производная второго порядка по x:

• Мы берем производную от dz/dx по x:
• d²z/dx² = d/dx(3x²y⁴ - ysin(x)) = 6xy⁴ - ycos(x).

Таким образом, вторая частная производная z по x равна:

d²z/dx² = 6xy⁴ - ycos(x).

Частная производная второго порядка по y:

• Мы берем производную от dz/dy по y:
• d²z/dy² = d/dy(4x³y³ + cos(x)) = 12x³y².

Таким образом, вторая частная производная z по y равна:

d²z/dy² = 12x³y².

Частная производная второго порядка по x и y:

• Мы берем производную от dz/dx по y:
• d²z/dxdy = d/dy(3x²y⁴ - ysin(x)) = 12x²y³ - sin(x).

Таким образом, смешанная вторая частная производная z равна:

d²z/dxdy = 12x²y³ - sin(x).

В итоге, мы получили все необходимые частные производные второго порядка:

• d²z/dx² = 6xy⁴ - ycos(x);
• d²z/dy² = 12x³y²;
• d²z/dxdy = 12x²y³ - sin(x).