Для того чтобы найти частные производные второго порядка функции z = x³y⁴ + ycosx, давайте разберем процесс пошагово. 1. **Найдем первую производную по x (∂z/∂x):** Функция z = x³y⁴ + ycosx имеет две части. - Для первой части x³y⁴ производная по x будет равна 3x²y⁴ (поскольку производная от x³ равна 3x², а y⁴ считается константой). - Для второй части ycosx производная по x будет равна -ysin(x) (поскольку производная от cosx равна -sinx, а y считается константой). Таким образом, первая производная по x: ∂z/∂x = 3x²y⁴ - ysin(x). 2. **Найдем первую производную по y (∂z/∂y):** - Для первой части x³y⁴ производная по y будет равна 4x³y³ (поскольку производная от y⁴ равна 4y³, а x³ считается константой). - Для второй части ycosx производная по y будет равна cosx (поскольку производная от y равна 1, а cosx считается константой). Таким образом, первая производная по y: ∂z/∂y = 4x³y³ + cosx. 3. **Найдем вторую производную по x (∂²z/∂x²):** - Применяем производную по x к ∂z/∂x = 3x²y⁴ - ysin(x). - Для 3x²y⁴ производная по x будет равна 6xy⁴. - Для -ysin(x) производная по x будет равна -ycos(x). Таким образом, вторая производная по x: ∂²z/∂x² = 6xy⁴ - ycos(x). 4. **Найдем вторую производную по y (∂²z/∂y²):** - Применяем производную по y к ∂z/∂y = 4x³y³ + cosx. - Для 4x³y³ производная по y будет равна 12x³y². - Для cosx производная по y равна 0, так как cosx не зависит от y. Таким образом, вторая производная по y: ∂²z/∂y² = 12x³y². 5. **Найдем смешанную производную (∂²z/∂x∂y):** - Применяем производную по y к ∂z/∂x = 3x²y⁴ - ysin(x). - Для 3x²y⁴ производная по y будет равна 12x²y³. - Для -ysin(x) производная по y будет равна -sin(x). Таким образом, смешанная производная: ∂²z/∂x∂y = 12x²y³ - sin(x). Теперь мы нашли все необходимые частные производные второго порядка для данной функции.