Найдите ∫ dx / cos²(1 - 2x)

• 1) tg(2x - 1) + C
• 2) 1/2 ⋅ ctg(2x - 1) + C
• 3) 1/2 ⋅ tg(2x - 1) + C
• 4) ctg(2x - 1) + C

Другие предметы Университет Интегралы тригонометрических функций высшая математика интегралы cos2 tg ctg университет математический анализ решение интеграла математические функции учебные материалы Новый

Для решения интеграла ∫ dx / cos²(1 - 2x), начнем с применения известной тригонометрической идентичности.

Шаг 1: Замена переменной.

В данном случае, мы можем использовать замену переменной. Обозначим:

• u = 1 - 2x

Тогда производная du будет равна:

• du = -2 dx

Отсюда следует, что:

• dx = -1/2 du

Шаг 2: Подставляем в интеграл.

Теперь подставим u в наш интеграл:

• ∫ dx / cos²(1 - 2x) = ∫ (-1/2) du / cos²(u)

Это можно переписать как:

• -1/2 ∫ du / cos²(u)

Шаг 3: Используем известное интегральное выражение.

Интеграл ∫ du / cos²(u) равен tan(u) + C. Таким образом, мы получаем:

• -1/2 (tan(u) + C) = -1/2 tan(u) + C'

где C' - новая константа интегрирования.

Шаг 4: Возвращаемся к переменной x.

Теперь подставим обратно u = 1 - 2x:

• -1/2 tan(1 - 2x) + C'

Шаг 5: Упрощаем результат.

Мы знаем, что tan(1 - 2x) можно записать как 1/tg(2x - 1), поэтому:

• -1/2 tg(2x - 1) + C'

Таким образом, окончательный ответ:

• 1/2 ⋅ tg(2x - 1) + C

Следовательно, правильный вариант ответа - это 3) 1/2 ⋅ tg(2x - 1) + C.