Найдите интеграл ∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx

1. 1/2 ⋅ ln|x² + 9| + 3arctg(x/3) + C
2. 1/2 ⋅ ln|x² + 3| + 1/3 ⋅ arctg(x/9) + C
3. ln|x² + 9| + 3arctg(x/3) + C
4. 1/2 ⋅ ln|x² + 9| + 1/3 ⋅ arctg(x/3) + C

Другие предметы Университет Интегралы неопределенные интеграл высшая математика университет математический анализ интегрирование арктангенс логарифмическая функция интеграл от дроби учебные задачи решение интегралов Новый

Для нахождения интеграла ∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx, давайте разобьем его на более простые части. Мы можем разделить дробь на две части:

∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx = ∫ (x / (x² + 9))dx + ∫ (9 / (x² + 9))dx

Теперь рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Интеграл ∫ (x / (x² + 9))dx:

• Для этого интеграла мы можем использовать метод подстановки. Пусть u = x² + 9, тогда du = 2x dx, или dx = du / (2x).
• Теперь подставим в интеграл: ∫ (x / u) * (du / (2x)) = (1/2) ∫ (1/u) du.
• Интеграл ∫ (1/u) du равен ln|u| + C = ln|x² + 9| + C.
• Таким образом, мы получаем: (1/2) ln|x² + 9|.

2. Интеграл ∫ (9 / (x² + 9))dx:

• Этот интеграл можно решить, используя известную формулу для интеграла функции вида 1/(a² + x²), которая равна (1/a) arctg(x/a) + C.
• В нашем случае a = 3, следовательно, ∫ (9 / (x² + 9))dx = 9 * (1/3) arctg(x/3) + C = 3 arctg(x/3) + C.

Теперь объединим оба результата:

∫ ((x + 9) / (x² + 9))dx = (1/2) ln|x² + 9| + 3 arctg(x/3) + C.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл:

1/2 ⋅ ln|x² + 9| + 3arctg(x/3) + C