Найдите интервал сходимости ряда x / 1 + x² / (1 ⋅ 2) + x³ / (1 ⋅ 2 ⋅ 3) + … + xⁿ / n! + …

1. (−∞; +∞)
2. (0; +∞)
3. (−∞; 0)

Другие предметы Университет Ряды Тейлора и их сходимость интервал сходимости ряд высшая математика университет x / 1 x² / (1 ⋅ 2) x³ / (1 ⋅ 2 ⋅ 3) xⁿ / n! сходимость ряда Новый

Для нахождения интервала сходимости данного ряда, давайте сначала запишем его в более удобной форме. Ряд можно записать так:

Сумма от n=1 до бесконечности (x^n / n!)

Теперь мы можем использовать критерий ratio (критерий отношения) для определения сходимости этого ряда. Он гласит, что если предел отношения последовательных членов ряда существует и меньше 1, то ряд сходится.

Обозначим a_n = x^n / n!. Теперь вычислим отношение a_(n+1) / a_n:

a_(n+1) = x^(n+1) / (n+1)! = x^(n+1) / ((n+1) * n!)

a_n = x^n / n!

Теперь найдем отношение:

Рассмотрим a_(n+1) / a_n:

a_(n+1) / a_n = (x^(n+1) / (n+1)!) / (x^n / n!) = (x^(n+1) * n!) / (x^n * (n+1)!)

Упрощаем это выражение:

a_(n+1) / a_n = (x^(n+1) * n!) / (x^n * (n+1) * n!) = (x / (n+1))

Теперь найдем предел:

lim (n→∞) |a_(n+1) / a_n| = lim (n→∞) |x| / (n+1) = 0

Так как этот предел равен 0, он меньше 1 для любого значения x. Это означает, что ряд сходится для всех x.

Таким образом, интервал сходимости данного ряда:

• (−∞; +∞)

Ответ: (−∞; +∞)