Чтобы найти координаты точки K пересечения прямой с плоскостью, сначала необходимо определить уравнения прямой и плоскости, а затем найти точку их пересечения.

Шаг 1: Приведение уравнения прямой к параметрической форме.

Дано уравнение прямой в виде:

(x - 1) / 2 = (y - 2) / 3 = (z - 3) / 4.

Это уравнение можно записать в параметрической форме, введя параметр t:

• x = 1 + 2t,
• y = 2 + 3t,
• z = 3 + 4t.

Шаг 2: Подстановка параметрических уравнений в уравнение плоскости.

Уравнение плоскости имеет вид:

2x + 5y - 3z = 0.

Теперь подставим выражения для x, y и z из параметрической формы в уравнение плоскости:

1. 2(1 + 2t) + 5(2 + 3t) - 3(3 + 4t) = 0.

Раскроем скобки:

1. 2 + 4t + 10 + 15t - 9 - 12t = 0.

Упростим уравнение:

1. (4t + 15t - 12t) + (2 + 10 - 9) = 0,
2. 7t + 3 = 0.

Шаг 3: Решение уравнения для t.

Решим уравнение:

1. 7t = -3,
2. t = -3/7.

Шаг 4: Подстановка найденного t обратно в параметрические уравнения.

Теперь подставим t = -3/7 в уравнения для x, y и z:

• x = 1 + 2(-3/7) = 1 - 6/7 = 1/7,
• y = 2 + 3(-3/7) = 2 - 9/7 = 14/7 - 9/7 = 5/7,
• z = 3 + 4(-3/7) = 3 - 12/7 = 21/7 - 12/7 = 9/7.

Шаг 5: Запись координат точки K.

Таким образом, координаты точки K пересечения прямой с плоскостью равны:

K(1/7; 5/7; 9/7).

Ответ: K(1/7; 5/7; 9/7).