Найдите общее решение уравнения x² d²y / dx² = 2

Другие предметы Университет Уравнения с частными производными математический анализ общее решение уравнение x2 d²y/dx² университет Дифференциальные уравнения методы решения математические модели Новый

Для решения уравнения x² d²y/dx² = 2, давайте сначала перепишем его в более удобной форме. Мы можем выразить вторую производную d²y/dx² следующим образом:

Шаг 1: Переписывание уравнения

• d²y/dx² = 2/x²

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем интегрировать дважды, чтобы найти y.

Шаг 2: Первый интеграл

Интегрируем обе стороны уравнения d²y/dx² = 2/x² по x:

• dy/dx = ∫(2/x²) dx = -2/x + C₁

где C₁ - произвольная константа интегрирования.

Шаг 3: Второй интеграл

Теперь интегрируем dy/dx = -2/x + C₁:

• y = ∫(-2/x + C₁) dx = -2 ln|x| + C₁x + C₂

где C₂ - еще одна произвольная константа интегрирования.

Шаг 4: Общее решение

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид:

• y = -2 ln|x| + C₁x + C₂

где C₁ и C₂ - произвольные константы. Это и есть общее решение уравнения x² d²y/dx² = 2.