Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя параболами, сначала необходимо определить точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

1. y = -x²

2. y = x² - 2x - 4

Приравняем правые части уравнений:

• -x² = x² - 2x - 4

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

• -x² - x² + 2x + 4 = 0
• -2x² + 2x + 4 = 0

Упростим уравнение, разделив его на -2:

• x² - x - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение x² - x - 2 = 0. Для этого найдем его корни с помощью дискриминанта:

1. Вычислим дискриминант: D = b² - 4ac, где a = 1, b = -1, c = -2.
2. D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
3. Корни уравнения: x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a.
4. x₁ = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2.
5. x₂ = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1.

Теперь у нас есть точки пересечения: x = -1 и x = 2.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими параболами, нужно вычислить интеграл разности функций от x = -1 до x = 2:

∫ от -1 до 2 (верхняя функция - нижняя функция) dx.

Определим, какая из функций является верхней и нижней на этом интервале:

• Для x = 0: y = -x² = 0 и y = x² - 2x - 4 = -4. Значит, y = -x² выше.

Таким образом, верхняя функция: y = -x², нижняя функция: y = x² - 2x - 4.

Разность функций: (-x²) - (x² - 2x - 4) = -x² - x² + 2x + 4 = -2x² + 2x + 4.

Вычислим интеграл:

1. Найдём первообразную: ∫(-2x² + 2x + 4) dx = (-2/3)x³ + x² + 4x + C.
2. Подставим пределы интегрирования: от -1 до 2.
3. Вычислим: [(-2/3)(2)³ + (2)² + 4(2)] - [(-2/3)(-1)³ + (-1)² + 4(-1)].
4. Вычислим значения: [-16/3 + 4 + 8] - [2/3 + 1 - 4].
5. [12/3 - 16/3] - [-1/3] = -4/3 + 1/3 = -3/3 = -1.

Таким образом, площадь фигуры равна 9.