Найдите площадь области, ограниченной кривой y = 1/4 x^3, прямыми x = -4, x = -2 и осью Ох

Другие предметы Университет Площадь под кривой площадь области кривая y = 1/4 x^3 интеграл математический анализ университет ограниченная область ось Ох прямые x = -4 x = -2 Новый

Для нахождения площади области, ограниченной кривой, прямыми и осью Ox, нам необходимо вычислить определенный интеграл. В данном случае, кривая задается уравнением y = 1/4 x^3, и мы ограничены прямыми x = -4 и x = -2, а также осью Ox.

Шаги решения:

1. Определите пределы интегрирования: Поскольку мы ищем площадь между кривой и осью Ox от x = -4 до x = -2, пределы интегрирования будут от -4 до -2.
2. Запишите интеграл: Площадь области можно найти, вычислив интеграл от функции y = 1/4 x^3 по x от -4 до -2. Интеграл будет выглядеть следующим образом:
   • ∫ from -4 to -2 of (1/4 x^3) dx
3. Вычислите интеграл: Для этого сначала найдите первообразную функцию для 1/4 x^3. Примитивная функция для x^3 равна (1/4)x^4, поэтому для 1/4 x^3 она будет равна (1/16)x^4.
4. Подставьте пределы интегрирования: Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную функцию:
   • [(1/16) * (-2)^4] - [(1/16) * (-4)^4]
5. Вычислите значения:
   • (1/16) * (-2)^4 = (1/16) * 16 = 1
   • (1/16) * (-4)^4 = (1/16) * 256 = 16
6. Найдите разность: Теперь вычтем из 1 значение 16:
   • 1 - 16 = -15
7. Учтите знак: Площадь всегда положительна, поэтому берем модуль полученного результата:
   • |-15| = 15

Таким образом, площадь области, ограниченной кривой y = 1/4 x^3, прямыми x = -4, x = -2 и осью Ox, равна 15.