Найдите точки перегиба кривой y=x⁴— 12x³+ 48x²— 50

Другие предметы Университет Анализ графиков функций точки перегиба кривая производная математика университет y=x^4 x^3 анализ функции критические точки график функции Новый

Чтобы найти точки перегиба кривой, нам необходимо выполнить несколько шагов. Точка перегиба - это точка на графике функции, в которой меняется знак кривизны. Для этого нужно найти вторую производную функции и определить, где она равна нулю или не существует.

Рассмотрим функцию:

y = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 50

1. Находим первую производную функции y:

Первая производная y' будет равна:

• y' = 4x^3 - 36x^2 + 96x
2. Находим вторую производную функции y:

Вторая производная y'' будет равна:

• y'' = 12x^2 - 72x + 96
3. Решаем уравнение y'' = 0:

Теперь найдем, где вторая производная равна нулю:

• 12x^2 - 72x + 96 = 0

Упростим уравнение, разделив его на 12:

• x^2 - 6x + 8 = 0
4. Находим корни квадратного уравнения:

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• x = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = -6, c = 8. Подставим значения:

• x = (6 ± √((-6)^2 - 4 * 1 * 8)) / (2 * 1)
• x = (6 ± √(36 - 32)) / 2
• x = (6 ± √4) / 2
• x = (6 ± 2) / 2

Таким образом, мы получаем два корня:

• x1 = (6 + 2) / 2 = 4
• x2 = (6 - 2) / 2 = 2
5. Находим значения функции в точках перегиба:

Теперь подставим найденные значения x в исходную функцию y:

• Для x = 2:
• y(2) = 2^4 - 12 * 2^3 + 48 * 2^2 - 50 = 16 - 96 + 192 - 50 = 62
• Для x = 4:
• y(4) = 4^4 - 12 * 4^3 + 48 * 4^2 - 50 = 256 - 768 + 768 - 50 = 206
6. Итак, точки перегиба:

Мы нашли точки перегиба:

• (2, 62)
• (4, 206)

Таким образом, точки перегиба кривой y = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 50 находятся в точках (2, 62) и (4, 206).