Найдите точку перегиба кривой y = -x³ + 6x² - 15x + 10

Другие предметы Университет Точки перегиба и анализ кривой точка перегиба кривые математический анализ университет y = -x³ + 6x² - 15x + 10 Новый

Чтобы найти точку перегиба кривой, нам нужно определить, где изменяется знак второй производной функции. Начнем с того, что найдем первую и вторую производные функции y = -x³ + 6x² - 15x + 10.

Шаг 1: Найдем первую производную.

Первая производная функции y по x обозначается как y'. Находим ее, используя правила дифференцирования:

• Производная от -x³ равна -3x².
• Производная от 6x² равна 12x.
• Производная от -15x равна -15.
• Производная от константы 10 равна 0.

Таким образом, первая производная будет:

y' = -3x² + 12x - 15.

Шаг 2: Найдем вторую производную.

Теперь найдем вторую производную y'', которая является производной от y'. Опять же, применяем правила дифференцирования:

• Производная от -3x² равна -6x.
• Производная от 12x равна 12.
• Производная от -15 равна 0.

Таким образом, вторая производная будет:

y'' = -6x + 12.

Шаг 3: Найдем точки перегиба.

Для нахождения точек перегиба, приравняем вторую производную к нулю:

-6x + 12 = 0.

Решим это уравнение:

• 6x = 12,
• x = 2.

Шаг 4: Проверим знак второй производной.

Теперь нам нужно проверить, изменяет ли знак вторая производная в окрестности x = 2. Для этого подставим значения, например, x = 1 и x = 3:

• Для x = 1: y''(1) = -6(1) + 12 = 6 (положительное).
• Для x = 3: y''(3) = -6(3) + 12 = -6 (отрицательное).

Мы видим, что вторая производная меняет знак с положительного на отрицательное при x = 2, что указывает на наличие точки перегиба.

Шаг 5: Найдем координаты точки перегиба.

Теперь подставим x = 2 в исходное уравнение, чтобы найти соответствующее значение y:

y(2) = -2³ + 6(2)² - 15(2) + 10.

Выполним вычисления:

• -2³ = -8,
• 6(2)² = 6 * 4 = 24,
• -15(2) = -30,
• Итак, y(2) = -8 + 24 - 30 + 10 = -4.

Таким образом, точка перегиба кривой y = -x³ + 6x² - 15x + 10 находится в точке (2, -4).