Найдите в указанной точке (1; 1;-2) первые частные производные функции x³ - 2y³ + z³ - 3xyz +2y -3 = 0, заданной неявно уравнением

Другие предметы Университет Частные производные и неявные функции высшая математика частные производные неявное уравнение университет функция точка математический анализ производные функции Новый

Для нахождения первых частных производных функции, заданной неявно уравнением, мы будем использовать метод неявной функции. В данном случае у нас есть уравнение:

F(x, y, z) = x^3 - 2y^3 + z^3 - 3xyz + 2y - 3 = 0

Нам нужно найти частные производные функции z(x, y) в точке (1, 1, -2). Начнем с нахождения частных производных F по x, y и z.

1. Найдем частную производную F по x:

   Сначала вычислим производную F по x:

   F_x = ∂F/∂x = 3x^2 - 3yz

2. Найдем частную производную F по y:

   Теперь вычислим производную F по y:

   F_y = ∂F/∂y = -6y^2 - 3xz + 2

3. Найдем частную производную F по z:

   Теперь вычислим производную F по z:

   F_z = ∂F/∂z = 3z^2 - 3xy

Теперь подставим точку (1, 1, -2) в найденные производные:

1. Подставим в F_x:

   F_x(1, 1, -2) = 3(1)^2 - 3(1)(-2) = 3 + 6 = 9

2. Подставим в F_y:

   F_y(1, 1, -2) = -6(1)^2 - 3(1)(-2) + 2 = -6 + 6 + 2 = 2

3. Подставим в F_z:

   F_z(1, 1, -2) = 3(-2)^2 - 3(1)(1) = 12 - 3 = 9

Теперь мы можем найти частные производные z по x и y, используя формулы:

• Частная производная z по x:

  dz/dx = -F_x / F_z = -9 / 9 = -1

• Частная производная z по y:

  dz/dy = -F_y / F_z = -2 / 9

Таким образом, в точке (1, 1, -2) первые частные производные функции z(x, y) равны:

• dz/dx = -1
• dz/dy = -2/9