Для нахождения первых частных производных функции, заданной неявно уравнением, мы будем использовать метод неявной функции. В данном случае у нас есть уравнение:

F(x, y, z) = x^3 - 2y^3 + z^3 - 3xyz + 2y - 3 = 0

Нам нужно найти частные производные функции z(x, y) в точке (1, 1, -2). Начнем с нахождения частных производных F по x, y и z.

1. Найдем частную производную F по x:

   Сначала вычислим производную F по x:

   F_x = ∂F/∂x = 3x^2 - 3yz

2. Найдем частную производную F по y:

   Теперь вычислим производную F по y:

   F_y = ∂F/∂y = -6y^2 - 3xz + 2

3. Найдем частную производную F по z:

   Теперь вычислим производную F по z:

   F_z = ∂F/∂z = 3z^2 - 3xy

Теперь подставим точку (1, 1, -2) в найденные производные:

1. Подставим в F_x:

   F_x(1, 1, -2) = 3(1)^2 - 3(1)(-2) = 3 + 6 = 9

2. Подставим в F_y:

   F_y(1, 1, -2) = -6(1)^2 - 3(1)(-2) + 2 = -6 + 6 + 2 = 2

3. Подставим в F_z:

   F_z(1, 1, -2) = 3(-2)^2 - 3(1)(1) = 12 - 3 = 9

Теперь мы можем найти частные производные z по x и y, используя формулы:

• Частная производная z по x:

  dz/dx = -F_x / F_z = -9 / 9 = -1

• Частная производная z по y:

  dz/dy = -F_y / F_z = -2 / 9

Таким образом, в точке (1, 1, -2) первые частные производные функции z(x, y) равны:

• dz/dx = -1
• dz/dy = -2/9