Для нахождения второй производной функции y = x / (x − 1) − 1 / (x − 1)² − 1 / (x − 1)³ + 1 / (x − 1)⁴ + 2 / (x − 1)³ − 2 / (x − 1)³, сначала упростим выражение и затем найдем производные.

Шаг 1: Упростим функцию.

Сначала объединим все дроби:

• y = x / (x − 1) − 1 / (x − 1)² + 0 + 1 / (x − 1)⁴ + 0.

Теперь у нас есть:

• y = x / (x − 1) − 1 / (x − 1)² + 1 / (x − 1)⁴.

Шаг 2: Найдем первую производную y'.

Используем правило деления и производную для суммы:

• Первый член: y1 = x / (x − 1).
• Производная y1: y1' = ( (x-1)(1) - x(1) ) / (x-1)² = (x - 1 - x) / (x - 1)² = -1 / (x - 1)².
• Второй член: y2 = -1 / (x − 1)².
• Производная y2: y2' = 2 / (x - 1)³.
• Третий член: y3 = 1 / (x − 1)⁴.
• Производная y3: y3' = -4 / (x - 1)⁵.

Теперь сложим все производные:

• y' = -1 / (x - 1)² + 2 / (x - 1)³ - 4 / (x - 1)⁵.

Шаг 3: Найдем вторую производную y''.

Теперь найдем производную от y':

• Первый член: -1 / (x - 1)².
• Производная: 2 / (x - 1)³.
• Второй член: 2 / (x - 1)³.
• Производная: -6 / (x - 1)⁴.
• Третий член: -4 / (x - 1)⁵.
• Производная: 20 / (x - 1)⁶.

Теперь сложим все производные:

• y'' = 2 / (x - 1)³ - 6 / (x - 1)⁴ + 20 / (x - 1)⁶.

Шаг 4: Упростим вторую производную.

Объединим все члены под общий знаменатель, который будет (x - 1)⁶:

• y'' = (2(x - 1)³ - 6(x - 1)² + 20) / (x - 1)⁶.

Теперь раскроем скобки и упростим числитель:

• 2(x - 1)³ = 2(x³ - 3x² + 3x - 1) = 2x³ - 6x² + 6x - 2.
• -6(x - 1)² = -6(x² - 2x + 1) = -6x² + 12x - 6.
• Итак, числитель: 2x³ - 6x² + 6x - 2 - 6x² + 12x - 6 + 20 = 2x³ - 12x² + 18x + 12.

Таким образом, окончательная форма второй производной:

• y'' = (2x³ - 12x² + 18x + 12) / (x - 1)⁶.

Это и есть вторая производная функции.