2025-09-04 17:40:56
Найдите ∫ ((x + 1) / (x² + 1))dx
- 1/2 ⋅ ln(x² + 1) + arctgx + C
- ln(x² + 1) + arcctgx + C
- 2ln(x² + 1) + arcctgx + C
Другие предметы Университет Интегралы неопределённого типа высшая математика интегралы университет математический анализ решение интегралов учебные материалы подготовка к экзаменам математические функции методы интегрирования арктангенс арккосинус математические формулы
2025-09-04 17:41:05
Чтобы найти интеграл ∫ ((x + 1) / (x² + 1))dx, давайте начнем с разложения интеграла на более простые части. Мы можем разделить числитель на два отдельных интеграла:
- ∫ (x / (x² + 1)) dx + ∫ (1 / (x² + 1)) dx
Теперь рассмотрим первый интеграл ∫ (x / (x² + 1)) dx. Для его решения мы можем использовать метод подстановки. Обозначим:
- u = x² + 1
- Тогда du = 2x dx, следовательно, dx = du / (2x).
Теперь подставим это в интеграл:
- ∫ (x / u) * (du / (2x)) = (1/2) ∫ (1 / u) du = (1/2) ln|u| + C1 = (1/2) ln(x² + 1) + C1.
Теперь перейдем ко второму интегралу ∫ (1 / (x² + 1)) dx. Этот интеграл известен и равен:
- arctan(x) + C2.
Теперь объединим результаты:
- ∫ ((x + 1) / (x² + 1)) dx = (1/2) ln(x² + 1) + arctan(x) + C.
Где C = C1 + C2 - это произвольная константа интегрирования.
Таким образом, окончательный ответ:
∫ ((x + 1) / (x² + 1)) dx = (1/2) ln(x² + 1) + arctan(x) + C.