Для нахождения изображения функции f(t) = sh(2t)/t, где sh - это гиперболический синус, необходимо проанализировать поведение функции на различных интервалах значений t.

Шаг 1: Определение области определения

• Функция f(t) определена для всех t, кроме t = 0, так как в этом случае возникает деление на ноль. Однако мы можем рассмотреть предел функции при t, стремящемся к нулю.

Шаг 2: Определение предела при t стремящемся к 0

• Для нахождения предела используем правило Лопиталя, так как получаем неопределенность вида 0/0:
• f(t) = sh(2t)/t = (e^(2t) - e^(-2t))/(2t).
• Применяем правило Лопиталя: берем производные числителя и знаменателя:
• Числитель: d/dt [sh(2t)] = 2 * ch(2t);
• Знаменатель: d/dt [t] = 1.
• Таким образом, предел при t стремящемся к 0 равен: lim (t -> 0) (2 * ch(2t)) = 2 * ch(0) = 2 * 1 = 2.

Шаг 3: Анализ поведения функции при различных t

• При t > 0, функция sh(2t) возрастает, а t также положительно, следовательно, f(t) будет возрастать.
• При t < 0, функция sh(2t) также возрастает, но t отрицательно, поэтому f(t) будет убывать.

Шаг 4: Нахождение значений на границах

• При t → ∞: sh(2t) → ∞ и f(t) → ∞.
• При t → -∞: sh(2t) → -∞ и f(t) → 0.

Шаг 5: Итог

• Таким образом, мы можем заключить, что функция f(t) имеет следующее поведение:
• При t → 0, f(t) → 2.
• При t → ∞, f(t) → ∞.
• При t → -∞, f(t) → 0.

Следовательно, изображение функции f(t) = sh(2t)/t будет интервалом (0, ∞) с включением значения 2, то есть [2, ∞).