Чтобы найти изображения функции f(t) = t/16 * (sh(2t) - sin(2t)),мы можем использовать метод, который включает анализ функции и её свойств. Давайте разберем это по шагам.

Функция представлена в виде:

f(t) = t/16 * (sh(2t) - sin(2t)

где sh(2t) - гиперболический синус, а sin(2t) - обычный синус.

• Гиперболический синус: sh(2t) = (e^(2t) - e^(-2t))/2
• Синус: sin(2t) = (e^(2it) - e^(-2it))/(2i)

Теперь мы можем вычислить разность sh(2t) - sin(2t):

sh(2t) - sin(2t) = (e^(2t) - e^(-2t))/2 - (e^(2it) - e^(-2it))/(2i)

Чтобы упростить выражение, мы можем привести его к общему знаменателю и провести необходимые преобразования. Однако, для поиска изображения функции, нам важно понять, как ведет себя сама функция f(t).

Теперь давайте исследуем поведение функции f(t) при различных значениях t:

• При t = 0: f(0) = 0/16 * (sh(0) - sin(0)) = 0.
• При t > 0: обе функции sh(2t) и sin(2t) возрастают, но sh(2t) растет быстрее, так как это гиперболическая функция.
• При t < 0: аналогично, f(t) будет отрицательным, так как t/16 будет отрицательным.

Также важно определить пределы функции:

• lim(t -> ∞) f(t) = ∞, так как sh(2t) доминирует.
• lim(t -> -∞) f(t) = -∞, так как t/16 будет отрицательным и sh(2t) будет расти.

Таким образом, функция f(t) имеет следующие характеристики:

• f(0) = 0
• f(t) растет при t > 0 и убывает при t < 0.
• Изображение функции охватывает все действительные числа, так как функция стремится к бесконечности при положительных t и к минус бесконечности при отрицательных t.

Таким образом, изображение функции f(t) = t/16 * (sh(2t) - sin(2t)) – это все действительные числа R.