Чтобы найти изображения функции f(t) = (t²/2) * ch(t) - (t/2) * sh(t),мы можем использовать метод дифференцирования и анализировать поведение функции. Давайте разберем шаги решения подробно.

Сначала вспомним, что ch(t) и sh(t) - это гиперболические косинус и синус соответственно:

• ch(t) = (e^t + e^(-t)) / 2
• sh(t) = (e^t - e^(-t)) / 2

Теперь подставим эти выражения в нашу функцию f(t):

f(t) = (t²/2) * ((e^t + e^(-t)) / 2) - (t/2) * ((e^t - e^(-t)) / 2)

Упростим выражение для f(t):

• f(t) = (t²/4) * (e^t + e^(-t)) - (t/4) * (e^t - e^(-t))
• f(t) = (t²/4) * e^t + (t²/4) * e^(-t) - (t/4) * e^t + (t/4) * e^(-t)
• f(t) = [(t²/4) - (t/4)] * e^t + [(t²/4) + (t/4)] * e^(-t)

Теперь объединим и упростим полученные члены:

f(t) = (t² - t)/4 * e^t + (t² + t)/4 * e^(-t)

Теперь, чтобы найти изображения функции, мы можем рассмотреть предельные значения функции при t стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

• При t → +∞: e^t доминирует, и f(t) стремится к +∞.
• При t → -∞: e^(-t) доминирует, и f(t) также стремится к +∞.

Таким образом, функция f(t) не имеет ограничений и стремится к бесконечности как в положительном, так и в отрицательном направлении. Изображения функции охватывают всю область действительных чисел.

Это означает, что функция f(t) имеет диапазон (изображение) от 0 до +∞. Мы можем также проанализировать производные и критические точки для более глубокого понимания, но в целом мы пришли к выводу о поведении функции на бесконечностях.