Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x) = 0.
exp (-x) +x-2=0

• -0.0011
• -1.15
• 0.11
• 0.0017

Другие предметы Университет Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 f(x) = 0 exp(-x) + x - 2 = 0 Новый

Для решения уравнения f(x) = exp(-x) + x - 2 = 0 методом Ньютона, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение функции и её производной

Сначала определим функцию:

f(x) = exp(-x) + x - 2

Теперь найдем производную этой функции:

f'(x) = -exp(-x) + 1

Шаг 2: Выбор начального приближения

Необходимо выбрать начальное приближение x0. Рассмотрим график функции или подберем значение, при котором f(x) меняет знак. Например, можно взять x0 = 1.5, так как f(1.5) < 0 и f(2) > 0.

Шаг 3: Применение метода Ньютона

Метод Ньютона задается формулой:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Мы будем повторять этот шаг, пока разница между x_{n+1} и x_n не станет меньше 0.01.

Шаг 4: Итерации

Теперь проведем итерации:

1. Подставляем x0 = 1.5:
• f(1.5) = exp(-1.5) + 1.5 - 2 ≈ -0.129
• f'(1.5) = -exp(-1.5) + 1 ≈ 0.776
• Теперь находим x1:
• x1 = 1.5 - (-0.129) / 0.776 ≈ 1.5 + 0.166 = 1.666
2. Теперь подставим x1 = 1.666:
• f(1.666) ≈ 0.013
• f'(1.666) ≈ 0.755
• Теперь находим x2:
• x2 = 1.666 - 0.013 / 0.755 ≈ 1.666 - 0.017 = 1.649
3. Подставляем x2 = 1.649:
• f(1.649) ≈ -0.0005
• f'(1.649) ≈ 0.757
• Теперь находим x3:
• x3 = 1.649 - (-0.0005) / 0.757 ≈ 1.649 + 0.00066 ≈ 1.64966

Шаг 5: Проверка условия остановки

Теперь проверим разницу между x3 и x2:

|x3 - x2| ≈ |1.64966 - 1.649| ≈ 0.00066, что меньше 0.01.

Шаг 6: Заключение

Таким образом, мы нашли корень уравнения f(x) = 0 с заданной погрешностью. Корень уравнения равен приблизительно 1.64966.