Для нахождения оригинала функции F(p) = (2*p^3 + 6p) / (p^2 - 1)^3, мы можем использовать метод интегрирования. Давайте подробно разберем шаги, необходимые для нахождения первообразной этой функции.

Сначала попробуем упростить дробь, если это возможно. Заметим, что числитель 2*p^3 + 6p можно разложить на множители:

• 2*p^3 + 6p = 2p(p^2 + 3).

Таким образом, наша функция F(p) принимает вид:

F(p) = (2p(p^2 + 3)) / (p^2 - 1)^3.

Теперь мы можем рассмотреть возможность разложения этой дроби на более простые части. Попробуем использовать метод частичных дробей. Но в данном случае, так как степень знаменателя больше степени числителя, проще будет использовать метод замены переменной.

Попробуем сделать замену переменной:

• Обозначим u = p^2 - 1, тогда du = 2p dp.

Таким образом, dp = du / (2p). Теперь выразим p через u:

• p^2 = u + 1, отсюда p = sqrt(u + 1).

Теперь подставим это в нашу функцию:

F(p) = (2*sqrt(u + 1)(u + 3)) / u^3.

Теперь мы можем интегрировать полученную функцию. Интеграл будет выглядеть следующим образом:

∫ F(p) dp = ∫ (2*sqrt(u + 1)(u + 3)) / u^3 * (du / (2*sqrt(u + 1))) = ∫ (u + 3) / u^3 du.

Теперь упростим интеграл:

∫ (u + 3) / u^3 du = ∫ (1/u^2 + 3/u^3) du.

Теперь мы можем интегрировать каждую часть:

• ∫ (1/u^2) du = -1/u,
• ∫ (3/u^3) du = -3/(2u^2).

Таким образом, получаем:

∫ F(p) dp = -1/(p^2 - 1) - 3/(2(p^2 - 1)^2) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

В результате мы нашли первообразную функции F(p). Она равна:

F(p) = -1/(p^2 - 1) - 3/(2(p^2 - 1)^2) + C.

Таким образом, мы успешно нашли оригинал функции, используя метод замены переменной и интегрирование.