Для нахождения оригинала функции F(p) = p^3 / (p^4 - 1) мы можем использовать метод разложения в простые дроби. Давайте подробно разберем этот процесс.

Сначала мы заметим, что знаменатель p^4 - 1 можно разложить на множители. Это выражение можно представить в виде:

• p^4 - 1 = (p^2 - 1)(p^2 + 1)
• p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)

Таким образом, полный разложенный вид знаменателя будет:

p^4 - 1 = (p - 1)(p + 1)(p^2 + 1)

Теперь мы можем записать F(p) в виде суммы простых дробей:

F(p) = A/(p - 1) + B/(p + 1) + (Cp + D)/(p^2 + 1)

где A, B, C и D - это коэффициенты, которые нам нужно определить.

Умножим обе стороны уравнения на (p - 1)(p + 1)(p^2 + 1), чтобы избавиться от знаменателя:

p^3 = A(p + 1)(p^2 + 1) + B(p - 1)(p^2 + 1) + (Cp + D)(p - 1)(p + 1)

Теперь раскроем скобки и соберем подобные слагаемые:

• A(p^3 + p^2 + p + 1)
• B(p^3 - p^2 + p - 1)
• (Cp + D)(p^2 - 1) = Cp^3 + (D - C)p^2 - D

Теперь, чтобы найти коэффициенты A, B, C и D, мы приравняем коэффициенты при одинаковых степенях p с обеих сторон уравнения:

• p^3: A + B + C = 1
• p^2: A - B + D - C = 0
• p^1: A + B = 0
• p^0: A - B - D = 0

Теперь решим эту систему уравнений:

1. Из уравнения A + B = 0 следует, что B = -A.
2. Подставим B в другие уравнения:
3. 1) A - (-A) + D - C = 0 → 2A + D - C = 0
4. 2) A + (-A) = 0 (это верно)
5. 3) A - (-A) - D = 0 → 2A - D = 0 → D = 2A

Теперь подставим D = 2A в уравнение 2A + D - C = 0:

2A + 2A - C = 0 → 4A - C = 0 → C = 4A.

Теперь у нас есть:

• B = -A
• D = 2A
• C = 4A

Подставим в уравнение A + B + C = 1:

A - A + 4A = 1 → 4A = 1 → A = 1/4.

Теперь можем найти остальные коэффициенты:

• B = -1/4
• D = 2/4 = 1/2
• C = 4/4 = 1.

Теперь мы можем записать F(p) в виде:

F(p) = 1/4(p - 1) - 1/4(p + 1) + (1p + 1/2)/(p^2 + 1).

Это и есть разложение функции F(p) в простые дроби. Теперь мы можем интегрировать каждую из этих дробей по отдельности, чтобы найти оригинал.

Теперь мы можем найти оригинал, интегрируя каждую часть:

• ∫(1/4)/(p - 1) dp = (1/4)ln|p - 1| + C1
• ∫(-1/4)/(p + 1) dp = (-1/4)ln|p + 1| + C2
• ∫(p + 1/2)/(p^2 + 1) dp = (1/2)ln(p^2 + 1) + (1/2)arctan(p) + C3

Объединив все части, мы получаем оригинал функции F(p):

∫F(p) dp = (1/4)ln|p - 1| - (1/4)ln|p + 1| + (1/2)ln(p^2 + 1) + (1/2)arctan(p) + C.

Где C = C1 + C2 + C3 - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, мы нашли оригинал функции F(p).