Для нахождения оригинала функции F(p) = p^3 / (p^4 - 1)^2, мы воспользуемся методом интегрирования по частям или методом разложения на простые дроби. В данном случае, разложение на простые дроби будет более удобным.

Шаг 1: Разложение на простые дроби

Сначала нам нужно упростить дробь, чтобы можно было удобно интегрировать. Для этого разложим знаменатель (p^4 - 1)^2 на простые дроби.

Знаменатель p^4 - 1 можно разложить как:

• p^4 - 1 = (p^2 - 1)(p^2 + 1) = (p - 1)(p + 1)(p^2 + 1)

Теперь, возводя это в квадрат, мы получаем:

• (p^4 - 1)^2 = [(p - 1)(p + 1)(p^2 + 1)]^2 = (p - 1)^2(p + 1)^2(p^2 + 1)^2

Теперь мы можем записать F(p) в виде суммы простых дробей:

Шаг 2: Определение коэффициентов

Предположим, что:

F(p) = A/(p - 1) + B/(p + 1) + (Cp + D)/(p^2 + 1) + E/(p - 1)^2 + F/(p + 1)^2 + (Gp + H)/(p^2 + 1)^2

Теперь умножим обе стороны на знаменатель (p^4 - 1)^2 и приравняем коэффициенты, чтобы найти значения A, B, C, D, E, F, G и H.

Шаг 3: Интегрирование

После того как мы нашли значения всех коэффициентов, мы можем интегрировать каждую из простых дробей по отдельности.

Шаг 4: Интеграл простых дробей

• Интеграл от A/(p - 1) будет равен A * ln|p - 1| + C1
• Интеграл от B/(p + 1) будет равен B * ln|p + 1| + C2
• Интеграл от (Cp + D)/(p^2 + 1) можно решить с помощью подстановки, получая arctan(p) и ln(p^2 + 1)
• Интеграл от E/(p - 1)^2 и F/(p + 1)^2 также можно решить, получая выражения с ln и дробями.

Шаг 5: Сбор всех результатов

После интегрирования всех частей, мы собираем результаты и добавляем произвольную константу интегрирования C.

Таким образом, мы находим оригинал функции F(p).