Для нахождения условного экстремума функции z(x, y) = x² + y² - 2x - 2y + 2 при условии x + y = 2, мы будем использовать метод Лагранжа. Этот метод позволяет находить экстремумы функции при наличии ограничений.

1. Записываем функцию и условие:
   • Целевая функция: z(x, y) = x² + y² - 2x - 2y + 2
   • Условие: g(x, y) = x + y - 2 = 0
2. Составляем функцию Лагранжа:

   Функция Лагранжа определяется как:

   L(x, y, λ) = z(x, y) + λ * g(x, y)

   Подставляем наши функции:

   L(x, y, λ) = x² + y² - 2x - 2y + 2 + λ(x + y - 2)

3. Находим частные производные и приравниваем их к нулю:
   • ∂L/∂x = 2x - 2 + λ = 0
   • ∂L/∂y = 2y - 2 + λ = 0
   • ∂L/∂λ = x + y - 2 = 0
4. Решаем систему уравнений:

   Из первых двух уравнений выразим λ:

   • λ = 2 - 2x
   • λ = 2 - 2y

   Приравняем их:

   2 - 2x = 2 - 2y

   Отсюда следует, что x = y.

5. Подставляем x = y в условие:

   Подставляем в уравнение условия:

   x + x = 2, отсюда x = 1 и y = 1.

6. Находим значение функции z в найденной точке:

   Теперь подставим x = 1 и y = 1 в функцию z:

   z(1, 1) = 1² + 1² - 2*1 - 2*1 + 2 = 0.

7. Проверяем другие возможные точки:

   Также проверим точки, которые соответствуют условию x + y = 2:

   • Точка (1, 2): z(1, 2) = 1² + 2² - 2*1 - 2*2 + 2 = 1.
   • Точка (1, 0): z(1, 0) = 1² + 0² - 2*1 - 2*0 + 2 = 1.
   • Точка (0, 1): z(0, 1) = 0² + 1² - 2*0 - 2*1 + 2 = 0.
8. Подводим итоги:

   В результате мы получили:

   • В точке (1, 1) - условный минимум zmin = 0.
   • В точке (1, 2) - условный максимум zmax = 1.
   • В точке (1, 0) - условный максимум zmax = 1.
   • В точке (0, 1) - условный минимум zmin = 0.

Таким образом, мы нашли условные экстремумы функции z при заданном условии.