Чтобы определить, какие фразеологические обороты являются синонимами в предложенном ряду, необходимо проанализировать их значения и употребление в языке. Давайте разберем каждый из фразеологических оборотов по отдельности.

• Важная птица - это выражение используется для обозначения человека, занимающего высокое положение или обладающего значительной властью.
• Птица высокого полета - также указывает на человека, который занимает высокую должность или имеет большой авторитет.
• Сильные мира сего - это выражение обозначает влиятельных людей, тех, кто принимает важные решения в обществе или политике.

Таким образом, первые три фразеологических оборота имеют схожие значения и могут считаться синонимами, так как все они описывают людей, обладающих властью или авторитетом.

• Бить баклуши - означает бездельничать, ничего не делать.
• Собак гонять - также подразумевает безделье или пустую трату времени.
• Лодыря гонять - означает заставлять человека работать, который не хочет этого делать, или же также указывает на безделье.

Второй набор фразеологических оборотов также имеет схожие значения, так как все они связаны с бездельем или неэффективным использованием времени.

• Болеть душой - означает переживать, сопереживать, быть неравнодушным к чему-либо.
• Принимать участие - это значит активно участвовать в каком-либо деле или событии.
• Входить в положение - означает проявлять понимание и сочувствие к кому-либо, учитывать чьи-то интересы.

Эти выражения имеют разные значения и не являются синонимами. Например, "болеть душой" и "входить в положение" подразумевают эмоциональную вовлеченность, тогда как "принимать участие" может быть более нейтральным и не обязательно связанным с эмоциями.

• Во весь голос - означает говорить очень громко.
• Во всю ивановскую - это разговорное выражение, также означающее делать что-то с максимальной силой или энергией.
• Во весь дух - это выражение не так распространено, но может означать делать что-то с полной отдачей.

Здесь "во весь голос" немного отличается от двух других выражений, так как оно больше связано с громкостью, в то время как "во всю ивановскую" и "во весь дух" имеют более общий смысл, связанный с энергией и усилием.

Вывод: В первом наборе фразеологизмов синонимами являются "важная птица", "птица высокого полета" и "сильные мира сего". Во втором наборе "бить баклуши", "собак гонять" и "лодыря гонять" также являются синонимами. В третьем наборе "во всю ивановскую" и "во весь дух" ближе по смыслу, но "во весь голос" отличается. Таким образом, не все фразеологические обороты в предложенных рядах являются синонимами.