Чтобы определить, при каких условиях неравенство ax² + bx + c > 0 выполняется для всех значений переменной x, необходимо проанализировать параметры a, b, c и дискриминант D.

Дискриминант D для квадратного уравнения ax² + bx + c вычисляется по формуле:

• D = b² - 4ac

Теперь рассмотрим различные случаи:

1. Случай 1: a > 0 и D < 0
• Когда a > 0, график функции ax² + bx + c - это парабола, открытая вверх.
• Если D < 0, это означает, что уравнение ax² + bx + c не имеет действительных корней.
• Таким образом, парабола не пересекает ось x и остается выше оси, что означает, что неравенство выполняется для всех x.
2. Случай 2: a < 0 и D < 0
• Когда a < 0, график функции ax² + bx + c - это парабола, открытая вниз.
• Если D < 0, парабола также не пересекает ось x, но в этом случае она находится ниже оси x, что означает, что неравенство ax² + bx + c > 0 не может выполняться для всех x.
3. Случай 3: a > 0 и D > 0
• Когда a > 0 и D > 0, парабола открыта вверх и имеет два действительных корня.
• Это означает, что парабола пересекает ось x в двух точках, и между этими точками функция принимает отрицательные значения.
• Таким образом, неравенство ax² + bx + c > 0 не выполняется для всех x.
4. Случай 4: a < 0 и D > 0
• Когда a < 0 и D > 0, парабола открыта вниз и имеет два действительных корня.
• Это также означает, что между корнями функция принимает положительные значения, и неравенство ax² + bx + c > 0 не выполняется для всех x.

Таким образом, единственный случай, когда неравенство ax² + bx + c > 0 выполняется для всех x, - это когда a > 0 и D < 0.