В этом предложении необходимо использовать правильную форму глагола, чтобы оно было грамматически правильным. В данном контексте речь идет о ситуации, которая уже произошла в прошлом, когда вы вернулись домой, и никто не заметил вашего прихода, потому что они были заняты просмотром важной игры по телевизору.

Чтобы выбрать правильную форму глагола, давайте разберем шаги:

1. Определите время действия: Поскольку действие произошло в прошлом, нам необходимо использовать прошедшее время.
2. Определите вид действия: Люди были заняты просмотром игры, что подразумевает длительное действие в прошлом. Это указывает на необходимость использования времени, которое описывает процесс, происходивший в определенный момент в прошлом.
3. Выберите правильное время: Для описания длительного действия в прошлом используется прошедшее длительное время (Past Continuous).
4. Формирование прошедшего длительного времени: Оно образуется с помощью вспомогательного глагола "to be" в прошедшем времени (was/were) и основной формы глагола с окончанием -ing.
5. Примените правило: Поскольку "они" (they) - это множественное число, используем "were". Основной глагол - "watch", добавляем к нему окончание -ing.

Таким образом, правильное предложение будет: "They were watching the big game on TV."