2025-02-23 20:53:32
Общим решением уравнения 2xydx+(x^2-y^2)dy=0 является
- 3x+y=c
- 3x^2y-y^3=c
- xy+y^2=c
- 2x^3-y^2=c
Другие предметы Университет Общие решения дифференциальных уравнений математический анализ уравнение решение Дифференциальные уравнения университет методы решения математические методы анализ функций математическая теория курсовая работа
2025-02-23 20:53:43
Давайте разберемся с данным дифференциальным уравнением и посмотрим, как можно прийти к общему решению.
У нас есть уравнение:
2xydx + (x^2 - y^2)dy = 0
Это уравнение имеет вид:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
где M(x, y) = 2xy и N(x, y) = x^2 - y^2.
Первым шагом является проверка, является ли данное уравнение точным. Для этого мы используем условие точности:
∂M/∂y = ∂N/∂x
- ∂M/∂y = ∂(2xy)/∂y = 2x
- ∂N/∂x = ∂(x^2 - y^2)/∂x = 2x
Поскольку ∂M/∂y = ∂N/∂x, уравнение является точным.
Теперь, когда мы знаем, что уравнение точное, мы можем найти его общее решение. Для этого мы ищем функцию ψ(x, y), такую что:
∂ψ/∂x = M(x, y) и ∂ψ/∂y = N(x, y)
Начнем с интегрирования M(x, y) по x:
- ψ(x, y) = ∫2xy dx = x^2y + h(y)
где h(y) — произвольная функция от y.
Теперь найдем производную ψ по y и приравняем ее к N(x, y):
- ∂ψ/∂y = x^2 + h'(y) = x^2 - y^2
Отсюда:
- h'(y) = -y^2
Интегрируя по y, получаем:
- h(y) = -y^3/3 + C
Таким образом, функция ψ(x, y) принимает вид:
- ψ(x, y) = x^2y - y^3/3 + C
Общее решение уравнения будет:
- x^2y - y^3/3 = C
Это уравнение может быть переписано в различных формах, например, путем умножения на 3 или другими манипуляциями, чтобы привести его к виду, указанному в вопросе. Однако суть решения остается той же: это уравнение описывает семейство кривых на плоскости, зависящих от параметра C.