Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеют вид:

A * x = 0,

где A - квадратная матрица (n x n), x - вектор переменных (n x 1), и 0 - нулевой вектор (n x 1).

Критерий существования ненулевых решений однородной квадратной СЛАУ:

Согласно теореме о существовании решений однородной системы, ненулевое решение существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы A равен нулю. Давайте разберем это утверждение шаг за шагом:

1. Определение ранга матрицы: Ранг матрицы A - это максимальное количество линейно независимых строк или столбцов в матрице. Для квадратной матрицы A размером n x n ранг может принимать значения от 0 до n.
2. Связь ранга и решений: Если ранг матрицы A равен n (то есть максимальному возможному), то строки (или столбцы) линейно независимы, и система имеет только тривиальное решение x = 0. Это связано с тем, что в таком случае все переменные x могут быть выражены через другие, и нет свободы выбора для создания ненулевых решений.
3. Случай, когда ранг меньше n: Если ранг матрицы A меньше n, это означает, что строки (или столбцы) матрицы линейно зависимы. В этом случае существует хотя бы одна свободная переменная, что позволяет находить ненулевые решения. Таким образом, система имеет бесконечно много решений, включая ненулевые.
4. Определитель матрицы: Определитель матрицы A (det(A)) является важным показателем. Если det(A) = 0, это означает, что матрица A вырождена и ее ранг меньше n. Следовательно, система имеет ненулевые решения. Если же det(A) ≠ 0, то матрица невырождена, и система имеет только тривиальное решение.

Таким образом, мы можем сформулировать критерий:

Если определитель матрицы A равен нулю (det(A) = 0), то однородная квадратная СЛАУ имеет ненулевые решения.

Этот критерий является основным инструментом для анализа однородных систем и позволяет быстро определять возможность существования ненулевых решений. Надеюсь, это объяснение было полезным для вас!