Определени гиперболы как геометрического места точек.вывод канонического ур-я гиперболы.

Другие предметы Университет Гипербола гипербола геометрическое место точек Каноническое уравнение гиперболы линейная алгебра аналитическая геометрия университетская математика Новый

Гипербола – это геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек (называемых фокусами) постоянна и равна некоторому положительному числу.

Рассмотрим два фокуса гиперболы, обозначим их как F1 и F2, которые находятся на оси абсцисс (горизонтальной оси) в точках (-c, 0) и (c, 0) соответственно. Пусть d1 – расстояние от произвольной точки P(x, y) на гиперболе до первого фокуса F1, а d2 – расстояние до второго фокуса F2. Тогда мы можем записать следующее равенство:

|d1 - d2| = 2a

где a – половина расстояния между точками, где гипербола пересекает ось Y (вертикальные асимптоты).

Теперь нам нужно выразить это в виде уравнения. Расстояния d1 и d2 можно вычислить с помощью формулы для расстояния между двумя точками:

• d1 = √((x + c)² + y²)
• d2 = √((x - c)² + y²)

Подставим эти выражения в уравнение для гиперболы:

|√((x + c)² + y²) - √((x - c)² + y²)| = 2a

Теперь мы можем избавиться от модуля, рассматривая два случая:

1. Случай 1: √((x + c)² + y²) - √((x - c)² + y²) = 2a
2. Случай 2: √((x - c)² + y²) - √((x + c)² + y²) = 2a

Рассмотрим, например, Случай 1:

1. Возведем обе стороны в квадрат:

(√((x + c)² + y²) - √((x - c)² + y²))² = (2a)²

2. Раскроем скобки и упростим уравнение.

3. В результате мы получим уравнение гиперболы в стандартной форме.

В конечном итоге, уравнение гиперболы с фокусами на оси X имеет вид:

(x²/a²) - (y²/b²) = 1

где b² = c² - a², и c – расстояние от центра до фокусов.

Таким образом, мы получили каноническое уравнение гиперболы, которое описывает ее геометрические свойства и расположение в координатной системе.