Определение матриц второго и третьего порядка

Матрицы - это прямоугольные таблицы чисел, которые используются для представления линейных преобразований и систем линейных уравнений. В зависимости от количества строк и столбцов, матрицы могут быть разного порядка:

• Матрица второго порядка - это матрица, состоящая из 2 строк и 2 столбцов. Например:
• A = [[a11, a12], [a21, a22]]
• Матрица третьего порядка - это матрица, состоящая из 3 строк и 3 столбцов. Например:
• B = [[b11, b12, b13], [b21, b22, b23], [b31, b32, b33]]

Смешанное произведение троицы векторов

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается как [a, b, c] и рассчитывается следующим образом:

1. Сначала нужно составить матрицу, состоящую из координат векторов a, b и c:
• Для векторов a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), c = (c1, c2, c3), матрица будет выглядеть так:
• M = [[a1, a2, a3], [b1, b2, b3], [c1, c2, c3]]
2. Затем вычисляем определитель этой матрицы, который и будет равен смешанному произведению:
• [a, b, c] = det(M)

Выражение через координаты векторов в ортонормированном базисе

В ортонормированном базисе координаты векторов остаются такими же, и определитель матрицы, составленной из векторов, будет равен смешанному произведению. Это позволяет легко вычислять объем параллелепипеда, образованного этими векторами.

Связь с объемом параллелепипеда

Объем параллелепипеда, образованного векторами a, b и c, равен абсолютному значению смешанного произведения этих векторов:

• V = |[a, b, c]|

Таким образом, объем параллелепипеда можно найти, вычислив определитель матрицы, составленной из координат этих векторов.

Смешанное произведение компланарной троицы векторов

Если векторы a, b и c компланарны, это означает, что они лежат в одной плоскости. В этом случае смешанное произведение равно нулю:

• [a, b, c] = 0

Это связано с тем, что объем параллелепипеда, образованного компланарными векторами, равен нулю, так как все три вектора не могут образовать трехмерный объем.