Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического определения параболы.

Другие предметы Университет Конические сечения парабола геометрическое место точек каноническое определение линейная алгебра аналитическая геометрия университет свойства параболы уравнение параболы график параболы приложения параболы Новый

Парабола – это кривая, которая является геометрическим местом точек, равноудалённых от фиксированной точки, называемой фокусом, и фиксированной прямой, называемой директрисой.

Теперь давайте рассмотрим, как можно получить каноническое определение параболы. Для этого мы будем использовать систему координат и обозначим некоторые элементы:

• F – фокус параболы, находящийся в точке (0, p), где p – положительное число, определяющее расстояние от фокуса до директрисы.
• D – директрису, которая будет представлена уравнением y = -p.

Согласно определению, любая точка (x, y) на параболе будет равноудалена от фокуса F и директрисы D. Это означает, что расстояние от точки (x, y) до фокуса должно быть равно расстоянию от этой точки до директрисы.

Теперь запишем эти расстояния:

• Расстояние от точки (x, y) до фокуса F(0, p) равно: √((x - 0)² + (y - p)²).
• Расстояние от точки (x, y) до директрисы D(y = -p) равно: |y + p|.

Теперь приравняем эти два расстояния:

√((x - 0)² + (y - p)²) = |y + p|

Чтобы упростить уравнение, возведем обе стороны в квадрат:

(x² + (y - p)²) = (y + p)²

Раскроем скобки:

• Слева: x² + (y² - 2py + p²)
• Справа: y² + 2py + p²

Теперь у нас есть:

x² + y² - 2py + p² = y² + 2py + p²

Упростим уравнение, убрав одинаковые элементы с обеих сторон:

x² - 2py = 2py

Теперь перенесем все элементы в одну сторону:

x² = 4py

Это и есть каноническое уравнение параболы, открытой вверх. Таким образом, мы получили уравнение, которое описывает параболу как геометрическое место точек, равноудалённых от фокуса и директрисы.