Чтобы определить частоту свободных затухающих колебаний механической системы, нам необходимо рассмотреть общее дифференциальное уравнение, описывающее эти колебания. Обычно оно имеет вид:

m * x'' + c * x' + k * x = 0

где:

• m - масса системы;
• c - коэффициент сопротивления (демпфирования);
• k - жесткость пружины;
• x - смещение системы;
• x' - первая производная смещения (скорость);
• x'' - вторая производная смещения (ускорение).

Теперь давайте разберем, как найти частоту свободных затухающих колебаний:

1. Найдите характеристическое уравнение: Для этого мы предположим решение в виде x(t) = e^(rt), где r - корни характеристического уравнения. Подставив это в дифференциальное уравнение, получим:
2. Определите параметры: Характеристическое уравнение будет иметь вид:
3. r^2 + (c/m)*r + (k/m) = 0
4. Решите характеристическое уравнение: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = c/m, c = k/m.

Подставляя эти значения, получаем:

r = [-c/(2m)] ± √[(c/(2m))² - (k/m)].

Теперь давайте определим, что означает каждый из корней:

• Если дискриминант (b² - 4ac) положителен, система будет иметь два различных действительных корня, что означает, что колебания будут затухающими.
• Если дискриминант равен нулю, система будет иметь один двойной корень, что также указывает на затухающие колебания.
• Если дискриминант отрицателен, система будет иметь комплексные корни, что указывает на затухающие колебания с осцилляциями.

Частота свободных затухающих колебаний определяется как:

ω_d = √(k/m - (c/(2m))²)

где:

• ω_d - частота затухающих колебаний;
• k - жесткость пружины;
• m - масса системы;
• c - коэффициент демпфирования.

Таким образом, зная параметры системы (массу, коэффициент демпфирования и жесткость),вы можете вычислить частоту свободных затухающих колебаний.