Рассмотрим задачу последовательно, как на уроке. Нужен перегрев жидкого азота (разность температуры жидкости над насыщением при давлении 3 бар), при котором внутреннее давление в пузырьке диаметра 4 мкм достаточно для начала закипания.

1. Данные и принятые приближения:

   • внешнее давление p = 3 бар = 3·10^5 Па;
   • диаметр пузыря d = 4 мкм → радиус r = d/2 = 2·10^-6 м;
   • молекулярная масса N2 M = 28 кг/кмоль = 0.028 кг/моль;
   • универсальная газовая постоянная R_u = 8.314 J/(mol·K) → удельная R_v = R_u / M ≈ 8.314/0.028 ≈ 297.66 J/(kg·K);
   • приблизительно: теплота парообразования L ≈ 1.99·10^5 J/kg (для жидкого N2 около кипения);
   • поверхностное натяжение σ ≈ 8.85·10^-3 Н/м (для жидкого азота).
   • будем считать пар идеальным и L почти постоянным (обычные приближения для таких оценок).

2. Вклад капиллярного давления в пузырьке: перепад давления между внутренностью пузыря и окружающей жидкостью равен 2σ/r.

   Δp = 2·σ / r = 2·8.85·10^-3 / (2·10^-6) ≈ 8.85·10^3 Па ≈ 8.85 кПа.

3. Нужно связать небольшое изменение давления Δp с соответствующим изменением температуры насыщения ΔT. От Клапейрона для малых изменений (считаем v_g >> v_l и пар как идеальный газ) получаем:

   dT/dp ≈ (R_v · T^2) / (L · p).

   Здесь T — температура насыщения при внешнем давлении p (то есть при 3 бар). Найдём T_sat(3 бар) приближённо, интегрированием уравнения Клапейрона в виде ln(p2/p1) = - (L/R_v) (1/T2 - 1/T1).

   Возьмём за опору p1 = 1.013·10^5 Па, T1 = 77.36 К (кипение N2 при 1 атм). Тогда

   1/T2 = 1/T1 - (R_v / L)·ln(p2/p1).

   Подставляя численно: ln(3·10^5 / 1.013·10^5) ≈ 1.085; R_v/L ≈ 297.66 / 1.99·10^5 ≈ 1.498·10^-3.

   1/T2 ≈ 1/77.36 - 1.498·10^-3 · 1.085 ≈ 0.012924 - 0.001624 ≈ 0.011300 1/K,

   откуда T2 ≈ 88.5 К. (Итого насыщение при 3 бар ≈ 88.5 K.)

4. Теперь вычислим dT/dp при p = 3·10^5 Па и T ≈ 88.5 K:

   dT/dp ≈ (R_v · T^2) / (L · p) ≈ (297.66 · 88.5^2) / (1.99·10^5 · 3·10^5) ≈ 3.906·10^-5 K/Па.

   Перегрев, соответствующий дополнительному давлению Δp, равен ΔT ≈ (dT/dp)·Δp ≈ 3.906·10^-5 · 8.85·10^3 ≈ 0.35 K.

Ответ: необходимый перегрев примерно 0.35 К (порядок 0.3–0.4 К).

Замечания: результат приближённый. Основные допущения — постоянство L, идеальность пара, значение σ и L взяты типичные для жидкого N2; при более точных данных и учёте температурной зависимости σ и L ответ немного изменится.