Параллелепипед построен на векторах a = 3i + 2j − 5k, b = i − j + 4k, c = i − 3j + k.
Вычислите высоту h данного параллелепипеда, если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b.

• h = 49√323 / 323
• h = 49√323 / 3
• h = 4√323 / 323

Другие предметы Университет Векторы и геометрия в пространстве высшая математика параллелепипед векторы вычисление высоты университет параллелограмм математические задачи линейная алгебра векторное произведение учебные задания Новый

Чтобы найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c, и взять за основание параллелограмм, построенный на векторах a и b, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти векторное произведение векторов a и b.

Векторное произведение двух векторов a и b дает вектор, перпендикулярный обоим вектором, и его длина равна площади параллелограмма, основанного на этих векторах. Векторы a и b заданы как:

• a = 3i + 2j - 5k
• b = i - j + 4k

Вычислим векторное произведение a x b:

1. Составим определитель:
2. | i j k |
3. | 3 2 -5 |
4. | 1 -1 4 |

Решаем определитель:

• i(2*4 - (-5)(-1)) - j(3*4 - (-5)(1)) + k(3*(-1) - 2*1)
• i(8 - 5) - j(12 + 5) + k(-3 - 2)
• i(3) - j(17) - k(5)

Таким образом, a x b = 3i - 17j - 5k.

Шаг 2: Найти длину вектора a x b.

Длина вектора равна:

• ||a x b|| = √(3^2 + (-17)^2 + (-5)^2) = √(9 + 289 + 25) = √323.

Шаг 3: Найти высоту h параллелепипеда.

Высота h параллелепипеда определяется как отношение объема V к площади основания S:

• h = V / S.

Объем V параллелепипеда можно найти как скалярное произведение вектора c на векторное произведение a x b:

V = |c · (a x b)|.

Вектор c задан как:

• c = i - 3j + k.

Теперь вычислим скалярное произведение c и a x b:

• c · (a x b) = (1)(3) + (-3)(-17) + (1)(-5) = 3 + 51 - 5 = 49.

Таким образом, объем V = 49.

Площадь основания S равна длине вектора a x b:

S = ||a x b|| = √323.

Теперь подставим значения в формулу для высоты:

• h = V / S = 49 / √323.

Таким образом, высота h параллелепипеда равна:

h = 49 / √323.

Из предложенных вариантов, правильный ответ будет:

• h = 49√323 / 323.