Плотность равномерного распределения дана формулой:
f(x) = 1/(b – a), если a ≤ x ≤ b, f(x) = 0, если x < 0 и x > b.
Тогда математическое ожидание случайной величины с таким распределением равно:

• (а + b)/2
• (а + b)/4
• (а – b)/2
• (а – b)/4

Другие предметы Университет Равномерное распределение плотность равномерного распределения математическое ожидание теория вероятностей случайная величина университетская статистика Новый

Чтобы найти математическое ожидание случайной величины, которая имеет равномерное распределение на интервале [a, b], мы можем воспользоваться следующей формулой:

Математическое ожидание (E(X)) для равномерного распределения:

E(X) = (a + b) / 2

Теперь давайте разберем, как мы пришли к этой формуле:

1. Определение распределения: Мы знаем, что плотность вероятности f(x) равномерного распределения на отрезке [a, b] равна 1/(b - a) для a ≤ x ≤ b и равна 0 в остальных случаях.
2. Интеграл для математического ожидания: Математическое ожидание можно вычислить по формуле:

E(X) = ∫[a, b] x * f(x) dx

3. Подстановка плотности: Подставим значение плотности в интеграл:

E(X) = ∫[a, b] x * (1/(b - a)) dx

4. Вычисление интеграла: Теперь вычислим интеграл:

E(X) = (1/(b - a)) * ∫[a, b] x dx

5. Интеграл x: Интеграл x от a до b равен:

∫[a, b] x dx = [x^2 / 2] от a до b = (b^2 / 2) - (a^2 / 2) = (b^2 - a^2) / 2

6. Подставляем обратно: Подставим результат интеграла обратно в формулу для E(X):

E(X) = (1/(b - a)) * ((b^2 - a^2) / 2)

7. Упрощение: Заметим, что b^2 - a^2 = (b - a)(b + a). Подставляем это в формулу:

E(X) = (1/(b - a)) * ((b - a)(b + a) / 2)

8. Сокращаем: У нас остается:

E(X) = (b + a) / 2

Таким образом, математическое ожидание случайной величины с равномерным распределением на интервале [a, b] равно:

(a + b) / 2

Теперь, если мы посмотрим на предложенные варианты ответов:

• (a + b) / 2
• (a + b) / 4
• (a - b) / 2
• (a - b) / 4

Мы видим, что правильный ответ - это (a + b) / 2.