При нахождении предела lim (√(x – 2) – √x), x⟶∞ студент понял, что имеет дело с неопределенностью вида [∞/∞].
Он решил раскрыть эту неопределенность умножив и разделив на сопряженное выражение.
Решите данный предел и укажите ответ.

• 0
• ∞
• -1

Другие предметы Университет Пределы и неопределенности предел неопределенность математика университет лимит корень решение предела сопряженное выражение x стремится к бесконечности Новый

Чтобы найти предел lim (√(x – 2) – √x) при x → ∞, давайте разберем его по шагам.

1. **Начнем с упрощения выражения.**

Мы видим, что при x → ∞, оба корня стремятся к бесконечности, и у нас возникает неопределенность вида ∞ - ∞. Поэтому, чтобы избавиться от этой неопределенности, мы можем умножить и разделить на сопряженное выражение.

Сопряженное выражение к (√(x – 2) – √x) будет (√(x – 2) + √x). Таким образом, мы можем записать предел следующим образом:

lim (√(x – 2) – √x) = lim [(√(x – 2) – √x) * (√(x – 2) + √x) / (√(x – 2) + √x)]

2. **Упростим числитель.**

• Числитель: (√(x – 2) – √x)(√(x – 2) + √x) = (x – 2) - x = -2.

Таким образом, мы имеем:

lim [(√(x – 2) – √x) * (√(x – 2) + √x)] = lim [-2 / (√(x – 2) + √x)].

3. **Теперь найдем предел знаменателя.**

Когда x → ∞, √(x – 2) и √x оба стремятся к √x, и мы можем записать:

√(x – 2) ≈ √x (при больших значениях x).

Таким образом, √(x – 2) + √x ≈ √x + √x = 2√x.

4. **Теперь подставим это в предел.**

Мы получаем:

lim [-2 / (√(x – 2) + √x)] = lim [-2 / (2√x)] = lim [-1 / √x].

5. **Наконец, находим предел.**

Когда x → ∞, √x → ∞, и следовательно, -1 / √x → 0.

Таким образом, предел lim (√(x – 2) – √x) при x → ∞ равен:

0